1/89 y la sucesión de Fibonacci

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar a la setena edició del Carnaval de matemáticas.

Coge una calculadora y calcula cuánto vale 1/89:

0.0112359550561798.

Los primeros números parecen seguir la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Pero después la cosa parece que se estropea... o no.

Intentemos calcular cuánto valdría la suma:

0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013

O sea, si $F_n$ es el enésimo número de Fibonacci, queremos calcular cuánto vale
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$

Este número nos dará 1/89. Por qué?

La fórmula general de la sucesión de Fibonacci es bien conocida:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$

que para simplificar la escribo usando el número de oro $\phi$:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$

En este caso, lo que queremos calcular es:

$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$

Podemos usar la fórmula general y agrupar los términos:

$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$

Pero estos términos son sumas geométricas, que sabemos sumar.

El primer sumatorio da

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$

Para obtener el resultado, no hace falta hacer cálculos complicados. Simplemente sumar la progresión

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$

sustituir por el valor de $\phi$ y racionalitzar.

De la misma forma, el segundo sumatorio da:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$

Restando los dos sumatorios, se obtiene

$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$

que multiplicado por $\sqrt{5}/50$ nos da el número 1/89!!!



Funte: La proporción áurea. Mario Livio.